數學與直覺,你相信哪個? 《三門問題》

三門問題又叫蒙提霍爾問題。說的是在一個電視遊戲中，參賽者面對三扇一模一樣的關閉著的門，其中一扇門後面是汽車，另外兩扇後面是山羊。參賽者選擇了一扇門，但並沒有打開；這時主持人開啓了另外一扇門，後面是山羊。主持人問參賽者要不要換另外一扇關著的門。問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的概率？

Mueser 和Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述：

* 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麽。
* 主持人知道每扇門後面有什麽。
* 主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
* 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
* 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
* 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
* 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

大多數人都會認為不會增加贏的概率，理由是在剩下的兩扇門後，肯定是一只山羊一輛汽車，無論選擇哪個贏得汽車的概率都是1/2。
事實上這個答案是錯的，正確結果是選擇另一扇門會使記得汽車的概率增大一倍，盡管這十分違反直覺。

以下的解答引自Wikipedia：
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)：

* 參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
* 參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
* 參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。

** 在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的概率是2/3。

如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩只山羊中剔除其中一只，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是1/2。

另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其後必定會開啓另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一只羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

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